연립부등식의 해집합이 주어질 때 미지수의 최솟값

부등식 $x ^{2} - 7 x + 12 = ( x - 4 ) ( x - 3 ) \geq 0$의 해집합을 $P$라 하면 $P = \left\{ x | x \geq 4 \right.$ 또는 $x \leq 3$$\}$ 부등식 $( x - 2 ) ( x + a ) < 0$의 해집합을 $Q$라 하면 $P \cap Q = \left\{ x | 2 < x \leq 3 \right\}$ 해집합의 관계를 수직선에 나타내면 다음과 같다.

그림에서 알 수 있듯이 집합 $Q$는 영역 $2 < x < 3$을 반드시 포함해야 한다. 1) $a = - 3$인 경우 : 집합 $Q = \left\{ 2 < x < 3 \right\}$이고 $P \cap Q = \left\{ 2 < x < 3 \right\}$이므로 조건을 만족하지 않는다. 2) $a = - 4$인 경우 : 집합 $Q = \left\{ 2 < x < 4 \right\}$이고 $P \cap Q = \left\{ 2 < x \leq 3 \right\}$이므로 조건을 만족한다. 따라서, 조건을 만족하는 $a$값의 범위는 $3 < - a \leq 4$, $\therefore - 4 \leq a < - 3$ $a$값의 최솟값은 $- 4$이다.