연립부등식과 최솟값

$x ^{2} - 4 y ^{2} = ( x + 2 y ) ( x - 2 y ) \geq 0$ 에서 ⅰ) $x + 2 y \geq 0 , x - 2 y \geq 0$일 때 $\displaystyle y \geq - \frac{1}{2} x , y \leq \frac{1}{2} x$ ⅱ) $x + 2 y \leq 0 , x - 2 y \leq 0$일 때 $\displaystyle y \leq - \frac{1}{2} x , y \geq \frac{1}{2} x$ 이므로 연립부등식 $\displaystyle \begin{cases} | x | + | y | \leq 1 \\ x ^{2} - 4 y ^{2} \geq 0 \end{cases}$ 가 나타내는 영역은 아래 그림의 어두운 부분과 같다.

$x ^{2} + 2 y = k$로 놓으면 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2} k$ ……… ㉠ $k$의 값은 포물선 ㉠이 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x$, $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$에 접할 때, 최소가 되므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2} k = \frac{1}{2} x$, $x ^{2} + x - k = 0$ $D = 1 + 4 k = 0$ $\displaystyle \therefore k = - \frac{1}{4}$