공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연립부등식 정수 개수

문제

$x$ 에 대한 연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} \begin{aligned} x ( x - 2 ) ( x + 3 ) > 0 \\ \end{aligned} \\ \frac{x - n}{x + 2} \leq 0 \end{cases}}$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $15$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$x ( x - 2 ) ( x + 3 ) > 0$ 에서 $- 3 < x < 0$ 또는 $x > 2$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle \frac{x - n}{x + 2} \leq 0$ 에서 $( x - n ) ( x + 2 ) \leq 0$ , $x \ne - 2$ $\therefore$ $- 2 < x \leq n$ $\cdots$ ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $- 2 < x < 0$ 또는 $2 < x \leq n$ 이므로 만족시키는 정수 $x$ 는 $- 1$ , $3$ , $4$ , $5$ , …, $n$ 으로 $( n - 1 )$ 개이다. 따라서 $n - 1 = 15$ 이므로 $n = 16$ 이다.

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