영역에서 x^2+y^2 최대최소

[출제의도] 부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값 구하기 $x ^{2} + y ^{2} = k ^{2}$라 하면 $k ^{2}$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 구하면 된다. 그림에서 ⅰ) 최댓값은 원 $x ^{2} + y ^{2} = k ^{2}$이 점 $( 3 , 3 )$을 지날 때이므로 $M = k ^{2} = 9 + 9 = 18$이다. ⅱ) 최솟값은 두 점 $( 2 , 0 )$, $( 0 , 4 )$를 지나는 직선의 방정식 $2 x + y - 4 = 0$에 원 $x ^{2} + y ^{2} = k ^{2}$이 접할 때이므로 원의 중심 $( 0 , 0 )$ 에서 직선 $2 x + y - 4 = 0$까지의 거리가 원의 반지름 $k$이다. 그러므로 $\displaystyle k = \frac{\left| - 4 \right|}{\sqrt{{4 + 1}}} = \frac{4}{\sqrt{{5}}}$이므로 $\displaystyle m = k ^{2} = \frac{16}{5}$ 이다. 따라서 ⅰ), ⅱ)에 의해 $\displaystyle M + 5 m = 18 + 5 \frac{16}{5} = 34$이다.