공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

영역에서 일차식 최대최소

문제

연립부등식 −x≤y≤2−x2- x \leq y \leq 2 - x ^{2}이 나타내는 영역 위의 임의의 점 (x,y)( x , y )에 대하여 2x+y2 x + y의 최대값을 MM, 최소값을 mm이라 할 때, M2+m2M ^{2} + m ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 이해하여 간단한 최대, 최소문제 해결하기 연립부등식 −x≤y≤2−x2- x \leq y \leq 2 - x ^{2}이 나타내는 영역은 아래 그림과 같다.

2x+y=k2 x + y = k라고 하면 y=−2x+k⋯㉠y = - 2 x + k \cdots \text{㉠}을 영역 위에서 움직여 볼 때 ㉠ 이 곡선 y=2−x2y = 2 - x ^{2}에 접할 때 즉, 점 PP를 지날 때 최대값을 가지므로 −2x+k=- 2 x + k =−x2+2- x ^{2} + 2↔x2−2x+k−2=0\leftrightarrow x ^{2} - 2 x + k - 2 = 0에서 D4=1−k\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - k+2=0+ 2 = 0 ∴ k=3k = 3 (최대값)이므로 M=3M = 3. 한편, ㉠이 y=−xy = - x와 곡선 y=2−x2y = 2 - x ^{2}의 교점 QQ(-1, 1)를 지날 때 최소값을 가지므로 k=−1k = - 1(최소값)이므로 m=−1m = - 1 ∴ M2+m2=10M ^{2} + m ^{2} = 10

태그

#부등식의 영역#최대최소

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