확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

영역에 속할 확률

문제

55 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 차례대로 뽑은 수 a1,a2,a3,a4,a5a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5}를 각각 xyxy평면 위의 점 (1,a1),(2,a2),(3,a3),(4,a4),(5,a5)( 1 , a _{1} ) , ( 2 , a _{2} ) , ( 3 , a _{3} ) , ( 4 , a _{4} ) , ( 5 , a _{5} ) 에 대응시키는 시행을 한다. 이때, 대응된 55개의 점 (k,ak)(k=1,2,3,4,5)( k , a _{k} ) ( k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )가 모두 영역 {y<x+1y>log⁡x\displaystyle \begin{cases} y < x + 1 \\ y > \log x \end{cases} 에 속할 확률은 ba\displaystyle \frac{b}{a}이다. 이때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

주어진 영역 안에 있는 격자점의 개수는 1515개다. (k,ak)( k , a _{k} )의 모든 점이 영역 안에 존재하려면 k=1k = 1일 때는 55개의 점 중에서 11가지 k=2k = 2일 때는 55개의 점 중에서 22가지 ⋮\vdots k=5k = 5일 때는 55개의 점 중에서 55가지 이다. (k,ak)( k , a _{k} )의 점이 영역 안에 들어가기 위한 각각의 경우에 대한 확률은 P(k=m)=m5\displaystyle {\mathrm{P}} ( k = m ) = \frac{m}{5} (m=1,2,3,4,5)( m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 이다. 따라서 구하는 확률은 55×45×35×25×15=24625\displaystyle \frac{5}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{24}{625}이므로 a+b=625+24=649a + b = 625 + 24 = 649

태그

#확률#부등식 영역

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