공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연분수 기호

문제

자연수 $a , b , c$ 에 대하여 $\left[ a ; b , c \right]$ 를 $\displaystyle a + \frac{1}{b + \frac{1}{c}}$ 로 정의한다. 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{n} \times \left[ n ^{2} ; 1 , n ^{2} \right]$ 을 $\left[ x ; y , z \right]$ 의 형태로 나타낼 때, 항상 옳은 것은? [4점] ① $\left[ n ; n , n \right]$ ② $\left[ n ; 1 , n \right]$ ③ $\left[ n ; n , 1 \right]$ ④ $\left[ n ; n ^{2} , 1 \right]$ ⑤ $\left[ n ; n ^{2} , n \right]$

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①

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해설

[출제의도] 정의된 분수식 계산하기 $\displaystyle \frac{1}{n} \times \left[ n ^{2} ; 1 , n ^{2} \right] = \frac{1}{n} \left( n ^{2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} \right)$ $\displaystyle = n + \frac{1}{n \left( 1 + \frac{1}{n ^{2}} \right)} = n + \frac{1}{n + \frac{1}{n}}$ $= [ n ; n , n ]$ ∴ $\displaystyle \frac{1}{n} \times \left[ n ^{2} ; 1 , n ^{2} \right] = [ n ; n , n ]$

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