공통수학2함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

역함수 존재 조건 보기

문제

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 다음과 같이 정의하자. g(x)={−x+4(x<−2)f(x)(−2≤x≤1)−x−2(x>1)\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - x + 4 _{} & \left( x < \mathit{-} 2 \right) _{} \\ f ( x ) ^{} & \left( - 2 \leq x \leq 1 \right) _{{}^{}} ^{} \\ - x - 2 ^{} & \left( x > 1 \right) ^{{}^{}} \end{cases}} 함수 g(x)g ( x )의 치역이 실수 전체의 집합이고, 함수 g(x)g ( x )의 역함수가 존재할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. f(−2)+f(1)=3f ( - 2 ) + f ( 1 ) = 3 ㄴ. g(0)=−1g ( 0 ) = \mathit{-} 1, g(1)=−3g ( 1 ) = \mathit{-} 3이면 곡선 y=f(x)y = f ( x )의 꼭짓점의 xx좌표는 52\displaystyle \frac{5}{2}이다. ㄷ. 곡선 y=f(x)y = f ( x )의 꼭짓점의 xx좌표가 −2- 2이면 g−1(1)=0g ^{- 1} ( 1 ) = 0 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 일대일대응을 이해하여 명제의 참, 거짓을 추론한다. ㄱ. 함수 g(x)g \left( x \right)의 정의역과 치역이 모두 실수 전체의 집합이고 함수 g(x)g \left( x \right)의 역함수가 존재하므로 함수 g(x)g \left( x \right)는 일대일대응이다. 따라서 함수 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프의 개형은 다음과 같이 두 가지이다. (ⅰ) g(−2)=f(−2)=6g ( - 2 ) = f ( - 2 ) = 6, g(1)=f(1)=−3g ( 1 ) = f ( 1 ) = \mathit{-} 3일 때,

(ⅱ) g(−2)=f(−2)=−3g ( - 2 ) = f ( - 2 ) = \mathit{-} 3, g(1)=f(1)=6g ( 1 ) = f ( 1 ) = \mathit{6}일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에서 f(−2)+f(1)=3f ( - 2 ) + f ( 1 ) = 3 (참) ㄴ. g(0)=f(0)=−1g ( 0 ) = f ( 0 ) = \mathit{-} 1에서 f(x)=ax2+bx−1f ( x ) = ax ^{2} + bx - 1(aa는 양의 상수, bb는 상수) 로 놓을 수 있다. g(1)=f(1)=−3g ( 1 ) = f ( 1 ) = \mathit{-} 3이면 f(−2)=6f ( - 2 ) = 6이어야 하므로 a+b−1=−3a + b - 1 = \mathit{-} 3, 4a−2b−1=64 a - 2 b - 1 = 6 연립방정식 {a+b=−24a−2b=7\displaystyle {\begin{cases} a + b = \mathit{-} 2 _{} & \\ 4 a - 2 b = 7 ^{} & \end{cases}}을 풀면 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2}, b=−52\displaystyle b = \mathit{-} \frac{5}{2} 따라서 f(x)f ( x )=12x2−52x−1\displaystyle = \frac{1}{2} x ^{2} - \frac{5}{2} x - 1=12(x−52)2−338\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} - \frac{33}{8} 이므로 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right)의 꼭짓점의 xx좌표는 52\displaystyle \frac{5}{2}이다. (참)

ㄷ. 곡선 y=f(x)y = f ( x )의 꼭짓점의 xx좌표가 −2- 2이므로 f(x)=a(x+2)2+pf ( x ) = a ( x + 2 ) ^{2} + p(aa는 양의 상수, pp는 상수) 라 할 수 있다. 이때 함수 g(x)g \left( x \right)가 일대일대응이므로 f(−2)=−3f ( - 2 ) = \mathit{-} 3, f(1)=6f ( 1 ) = 6 이다. p=−3p = \mathit{-} 3, 9a+p=69 a + p = 6 에서 a=1a = 1이므로 f(x)=(x+2)2−3f ( x ) = ( x + 2 ) ^{2} - 3 따라서 g(0)=f(0)=1g ( 0 ) = f ( 0 ) = 1이므로 g−1(1)=0g ^{- 1} ( 1 ) = 0 (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

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