역함수 그래프 교점

[출제의도] 역함수의 그래프 이해하기 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + k = ( x - 1 ) ^{2} + k - 1$ $\left( x {\geq} 1 \right)$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 그 역함수 $y = f ^{-1} \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점은 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x$가 만나는 점과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $y = f ^{- 1} \left( x \right)$

따라서 점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = x$ 위의 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( t , t )$라 하면 삼각형 $\mathrm{POH}$의 넓이가 $8$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} {\times} t {\times} t = 8$, $t ^{2} = 16$이다. $\therefore t = 4$ $\left( \because t {\geq} 1 \right)$ 한편, 점 $\mathrm{P} \mathit{(} 4 , 4 )$는 함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + k$의 그래프 위의 점이므로 $\left. f {\left( 4 \right) = 4 ^{2} - 2 \times 4 + k = 4} \right.$이다. ∴ $k = - 4$