미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 성분 합의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 행렬 (2n3n3n2n)\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 3 ^{n} \\ 3 ^{n} & 2 ^{n} \end{pmatrix}의 역행렬의 모든 성분의 합을 ana _{n}이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 0 ㄴ. lim⁡n→∞an+1an=23\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}} = \frac{2}{3} ㄷ. 13n<an<12n\displaystyle \frac{1}{3 ^{n}} < a _{n} < \frac{1}{2 ^{n}} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞22n+3n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{2 ^{n} + 3 ^{n}}} = 0 (참) ㄴ. lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞2n+3n2n+1+3n+1=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{2 ^{n + 1} + 3 ^{n + 1}}} = \frac{1}{3} (거짓) ㄷ. 23n+3n<an<22n+2n\displaystyle \frac{2}{3 ^{n} + 3 ^{n}} < a _{n} < \frac{2}{2 ^{n} + 2 ^{n}} (참)

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