확률과 통계조건부확률수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 없을 조건 확률

문제

한 개의 주사위를 $3$ 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 $a$ , $b$ , $c$ 라 하자. 행렬 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2 c \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하지 않을 때, $a$ 가 홀수일 확률은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{6}$

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②

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[출제의도] 조건부 확률과 역행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하지 않는 사건을 $P$ , $a$ 가 홀수인 사건을 $Q$ 라 하자. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2 c \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하지 않으려면 $2 ac - b ^{2} = 0$ 이므로, 순서쌍 $( a , b , c )$ 는 $( 1 , 2 , 2 )$ , $( 2 , 2 , 1 )$ , $( 2 , 4 , 4 )$ , $( 4 , 4 , 2 )$ , $( 3 , 6 , 6 )$ , $( 6 , 6 , 3 )$ $6$ 개이고, 이 중에서 $a$ 가 홀수인 경우는 $2$ 개이므로 $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{Q} | P ) = \frac{1}{3}$

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