예각삼각형 점 개수

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 삼각형을 추측하고 그 개수를 구한다. 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되려면 세 내각이 모두 $90 ^\circ$보다 작아야 한다. [그림 $1$]과 같이 $\angle \mathrm{PAB} = 90 ^\circ$, $\angle \mathrm{QBA} = 90 ^\circ$인 모눈종이 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 생각한다.

[그림 $1$] [그림 $2$]와 같이 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{A}$를 지나는 직선을 $l$, 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{B}$를 지나는 직선을 $m$이라 하자. 두 직선 $l$, $m$ 위의 점 $\mathrm{C}$에 대하여 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이다.

[그림 $2$] [그림 $3$]과 같이 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$에 대하여 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다.

[그림 $3$] 따라서 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되려면 점 $\mathrm{C}$가 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있어야 한다. [그림 $4$]는 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있는 점 $\mathrm{C}$에 대하여 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 $4$] [그림 $5$]는 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있는 점 $\mathrm{C}$에 대하여 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 둔각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 $5$] [그림 $6$]은 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있는 점 $\mathrm{C}$에 대하여 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 $6$] [그림 $4$]와 같이 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형이면 반원에 대한 원주각이 $90 ^\circ$이므로 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위에 있다. 따라서 [그림 $7$]과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원을 그리고 점 $\mathrm{C}$가 원의 안에 있는 경우, 점 $\mathrm{C}$가 원 위에 있는 경우, 점 $\mathrm{C}$가 원의 밖에 있는 경우로 나누어 생각해 보자.

[그림 $7$]

[그림 $8$]과 같이 점 $\mathrm{C}$가 원 위에 있는 경우에는 반원에 대한 원주각이 $90 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{ACB} = 90 ^\circ$이다. 따라서 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이다.

[그림 $8$] [그림 $9$]와 같이 점 $\mathrm{C}$가 원의 안에 있는 경우에는 $\angle \mathrm{ACB}$가 반원에 대한 원주각보다 크다. 따라서 $\angle \mathrm{ACB} > 90 ^\circ$이므로 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다.

[그림 $9$] [그림 $10$]과 같이 점 $\mathrm{C}$가 원의 밖에 있는 경우에는 $\angle \mathrm{ACB}$가 반원에 대한 원주각보다 작다. 따라서 $\angle \mathrm{ACB} < 90 ^\circ$이므로 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 예각삼각형이다.

[그림 $10$] 그러므로 [그림 $8$], [그림 $9$], [그림 $10$]으로부터 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 예각삼각형이 되려면 점 $\mathrm{C}$가 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 밖에 있어야 한다는 것을 알 수 있다. [그림 $11$]은 두 직선 $l$, $m$ 사이에 있고 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 밖에 있는 점 $\mathrm{C}$의 위치를 표시한 것이다.

[그림 $11$] 따라서 구하는 점 $\mathrm{C}$의 개수는 $21$이다.