미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

양궁 명중 확률 극한

문제

양궁대회에 참가한 어떤 선수가 활을 쏘아 과녁의 1010점 부분을 명중시킨 다음 다시 활을 쏘아 1010점 부분을 명중시킬 확률이 89\displaystyle \frac{8}{9}이고, 1010점 부분을 명중시키지 못한 다음 다시 1010점 부분을 명중시키지 못할 확률이 15\displaystyle \frac{1}{5}이다. 이 선수가 반복하여 계속 활을 쏜다고 할 때, nn번째에 1010점 부분을 명중시킬 확률을 pnp _{n}이라 하자. 이 때, lim⁡n→∞pn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} p _{n}의 값은? [4점] ①1427\displaystyle \frac{14}{27}②1727\displaystyle \frac{17}{27}③2541\displaystyle \frac{25}{41}④3241\displaystyle \frac{32}{41}⑤3641\displaystyle \frac{36}{41}

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⑤

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해설

nn번째에 1010점 부분에 명중시킬 확률이 pnp _{n}이므로 n+1n + 1번째에 1010점 부분에 명중시킬 확률이 pn+1p _{n+1}이므로 pn+1p _{n+1}은 nn번째 명중하고 n+1n + 1번째도 명중하거나 nn번째 명중하지 못하고 n+1n + 1번째 명중할 확률의 합이므로 pn+1=pn×89+(1−pn)×45\displaystyle p _{n+1} = p _{n} \times \frac{8}{9} + \left( 1 - p _{n} \right) \times \frac{4}{5}↔pn+1=445pn+45\displaystyle \leftrightarrow p _{n+1} = \frac{4}{45} p _{n} + \frac{4}{5} lim⁡n→∞pn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} p _{n} = \alpha라 두면 α=445α+45\displaystyle \alpha = \frac{4}{45} \alpha + \frac{4}{5}에서 ∴α=lim⁡n→∞pn=3641\displaystyle \therefore \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} p _{n} = \frac{36}{41}

태그

#확률 점화식#수열의 극한

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