x축 대칭으로 경로의 최솟값 구하기

점 $\mathrm{A} ( 1 , 3 )$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{C}$라 하면 $\mathrm{C} ( 1 , - 3 )$ 점 $\mathrm{P}$가 $x$축 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{CP}}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{CP}} + \overline{\mathrm{PB}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} + \overline{\mathrm{PB}}$는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{CB}$ 위에 있을 때 가장 작고, 그 값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( 5 + 3 ) ^{2}} = \sqrt{100} = 10$ 두 점 $\mathrm{C} ( 1 , - 3 )$, $\mathrm{B} ( 7 , 5 )$를 이은 선분은 $x$축과 만나므로 이때의 점 $\mathrm{P}$가 실제로 존재한다. 따라서 구하는 최솟값은 $10$이다.