공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 다른 원

문제

좌표평면에서 원 x2+y2=25x ^{2} + y ^{2} = 25 위의 점 (3,−4)( 3 , - 4 )에서의 접선이 원 (x−6)2+(y−8)2=r2( x - 6 ) ^{2} + ( y - 8 ) ^{2} = r ^{2}과 만나도록 하는 자연수 rr의 최솟값을 구하시오. [4점]

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8

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해설

원 x2+y2=25x ^{2} + y ^{2} = 25 위의 점 (3,−4)\left( 3 , - 4 \right)에서의 접선의 방정식은 3x−4y−25=03 x - 4 y - 25 = 0 이 접선이 원 (x−6)2+(y−8)2=r2\left( x - 6 \right) ^{2} + \left( y - 8 \right) ^{2} = r ^{2}과 만나려면 원의 중심 (6,8)\left( 6 , 8 \right)과 직선 3x−4y−25=03 x - 4 y - 25 = 0 사이의 거리 dd가 반지름의 길이 r(r>0)r \left( r > 0 \right)보다 작거나 같아야 한다. d=∣3×6−4×8−25∣32+(−4)2=395≤r\displaystyle d = \frac{\left| 3 \times 6 - 4 \times 8 - 25 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + \left( - 4 \right) ^{2}}} = \frac{39}{5} \leq r이므로 자연수 rr의 최솟값은 8\mathrm{8}

태그

#접선의 방정식#점과 직선 거리

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