원의 현 길이 개수

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 현의 개수를 구한다. $x ^{2} + y ^{2} - 10 x = 0$에서 $( x - 5 ) ^{2} + y ^{2} = 5 ^{2}$ 그림과 같이 원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하고 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 1 , 0 )$을 지나는 직선이 이 원과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 현 $\mathrm{PQ}$의 길이가 최소일 때는 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} \perp {\overline{PQ}}$일 때이고 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{AQ}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ACP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = 4$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = 5$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 3$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2 \times \mathrm{\overline{AP}} = 6$ 따라서 현 $\mathrm{PQ}$의 길이의 최솟값은 $6$이다. 현 $\mathrm{PQ}$의 길이가 최대일 때는 현 $\mathrm{PQ}$가 지름일 때이므로 현 $\mathrm{PQ}$의 길이의 최댓값은 $10$이다. 따라서 현의 길이가 자연수인 경우는 $6$, $7$, $8$, $9$, $10$이다. 이때 길이가 $7$, $8$, $9$인 현은 각각 $2$개씩 존재하고, 길이가 $6$, $10$인 현은 각각 $1$개씩 존재한다. 따라서 구하는 현의 개수는 $3 \times 2 + 2 \times 1 = 8$