원탁 이웃 제한

$\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하지 않고, $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$도 이웃하지 않는 경우는 (ⅰ) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 이웃하면서 위의 조건을 만족하는 경우와 (ⅱ) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 모두 이웃하지 않는 경우 로 나눌 수 있다. (ⅰ) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 이웃하는 경우 $\left( \mathrm{A} , B \right)$와 $\mathrm{C}$가 이웃하지 않아야 하므로 (1) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 제외한 $3$명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 $2 !$ (2) 배열된 $3$명의 사이사이의 $3$자리 중 $2$자리에 $\left( \mathrm{A} , B \right)$와 $\mathrm{C}$를 배열하는 경우의 수 ${}_{3} \mathrm{P} _{2}$ (3) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 자리를 바꾸는 경우의 수 $2 !$ 이상에서 구하는 경우의 수는 $2 ! \times _{3} \mathrm{P} _{2} \times 2 ! = 24$ (ⅱ) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 모두 이웃하지 않는 경우 (1) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 제외한 $3$명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 $2 !$ (2) 배열된 $3$명의 사이사이에 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 배열하는 경우의 수 $3 !$ 이상에서 구하는 경우의 수는 $2 ! \times 3 ! = 12$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $24 + 12 = 36$이다.

[다른 풀이] $6$명을 원 모양의 탁자에서 배열하는 경우의 수는 $5 ! = 120$ $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하지 않고, $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$도 이웃하지 않는 경우의 여사건은 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하거나 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하는 경우이다. $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하는 경우의 수는 $4 ! \times 2 ! = 48$ $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하는 경우의 수는 $4 ! \times 2 ! = 48$ $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하면서 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$도 이웃하는 경우의 수는 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$ 사이에 $\mathrm{C}$가 와야 하므로 $2 ! \times 3 ! = 12$ 따라서 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하거나 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 이웃하는 경우의 수는 $48 + 48 - 12 = 84$ 이므로 구하는 경우의 수는 $120 - 84 = 36$이다.