원순열 조건부확률

서로 마주 보는 위치에 있는 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차가 같은 경우를 순서쌍으로 나타내면 다음과 같다. (ⅰ) 두 수의 차가 $1$로 같은 경우 $( 1 , 2 )$, $( 3 , 4 )$, $( 5 , 6 )$, $( 7 , 8 )$

이때 숫자 $1$과 $2$가 적혀 있는 카드를 배열하는 방법은 $1$가지, 숫자 $3$이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 $6$가지이고 이때 숫자 $4$가 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 또 숫자 $5$가 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 $4$가지이고 숫자 $6$이 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 마지막으로 숫자 $7$이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 $2$가지이고 $8$이 적혀 있는 카드의 위치는 한 가지로 고정된다. 따라서 카드를 배열하는 경우의 수는 $1 \times 6 \times 4 \times 2 = 48$ (ⅱ) 두 수의 차가 $2$로 같은 경우 $( 1 , 3 )$, $( 2 , 4 )$, $( 5 , 7 )$, $( 6 , 8 )$ (1) 카드를 배열하는 방법은 (ⅰ)에서와 같으므로 $1 \times 6 \times 4 \times 2 = 48$ (2) 숫자 $1$이 적혀 있는 카드와 숫자 $2$가 적혀 있는 카드가 이웃하는 경우 숫자 $1$과 $3$이 적혀 있는 카드를 배열하는 방법은 $1$가지, 숫자 $2$가 적혀 있는 카드의 위치는 숫자 $1$이 적혀 있는 카드의 왼쪽 또는 오른쪽이면 되므로 $2$가지이고 숫자 $4$가 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 숫자 $5$가 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 $4$가지이고 숫자 $7$이 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 마지막으로 숫자 $6$이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 $2$가지이고 숫자 $8$이 적혀 있는 카드의 위치는 한 가지로 정해진다. 따라서 숫자 $1$이 적혀 있는 카드와 숫자 $2$가 적혀 있는 카드가 이웃하도록 배열하는 경우의 수는 $1 \times 2 \times 4 \times 2 = 16$ (ⅲ) 두 수의 차가 $4$로 같은 경우 $( 1 , 5 )$, $( 2 , 6 )$, $( 3 , 7 )$, $( 4 , 8 )$ (1) 이때 카드를 배열하는 방법은 (ⅰ)에서와 같으므로 $1 \times 6 \times 4 \times 2 = 48$ (2) 숫자 $1$이 적혀 있는 카드와 숫자 $2$가 적혀 있는 카드가 이웃하는 경우 카드를 배열하는 방법은 (ⅱ)-(2)에서와 같으므로 $1 \times 2 \times 4 \times 2 = 16$ 이상에서 서로 마주 보는 위치에 있는 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차가 모두 같을 때, 숫자 $1$이 적혀 있는 카드와 숫자 $2$가 적혀 있는 카드가 서로 이웃할 확률은 $\displaystyle \frac{16 + 16}{48 + 48 + 48} = \frac{2}{9}$