원순열 이웃 조건

원 모양의 탁자에 남학생 $4$명이 모두 둘러앉는 경우의 수는 $\left( 4 - 1 \right) ! = 3 ! = 6$ 자신과 이웃한 두 학생이 모두 남학생인 여학생 $1$명을 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 3$ 자신과 이웃한 두 학생이 모두 남학생인 여학생이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 4$ 자신과 이웃한 두 학생이 모두 남학생인 여학생의 수가 $1$이므로 다른 두 여학생은 서로 이웃해야 한다. 서로 이웃한 $2$명의 여학생이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times 2 ! = 6$ 따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 3 \times 4 \times 6 = 432$ [다른 풀이] 원 모양의 탁자에 $7$명의 학생이 모두 둘러앉는 경우의 수는 $\left( 7 - 1 \right) ! = 6 ! = 720$ 자신과 이웃한 두 학생이 모두 남학생인 여학생의 수가 $1$이 되도록 하는 사건의 여사건은 $3$명의 여학생이 모두 이웃하거나 $3$명의 여학생 중 어느 $2$명도 서로 이웃하지 않는 사건이다. (ⅰ) $3$명의 여학생이 모두 이웃하는 경우 $3$명의 여학생을 한 명으로 보고 원 모양의 탁자에 남학생 $4$명을 포함한 $5$명의 학생이 모두 둘러앉는 경우의 수는 $3 ! \times \left( 5 - 1 \right) ! = 3 ! \times 4 ! = 144$ (ⅱ) $3$명의 여학생 중 어느 $2$명도 서로 이웃하지 않는 경우 원 모양의 탁자에 남학생 $4$명이 모두 둘러앉는 경우의 수는 $\left( 4 - 1 \right) ! = 3 ! = 6$ $3$명의 여학생이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{3}} \times 3 ! = 24$ 구하는 경우의 수는 $6 \times 24 = 144$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $720 - \left( 144 + 144 \right) = 432$