원뿔대 부피

[출제의도] 삼각형의 닮음과 이차방정식을 이용하여 원뿔대의 높이를 구한다.

주어진 원뿔대의 두 밑면의 넓이가 각각 $4 x$, $x$이므로 넓이의 비는 $4 : 1$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} ^{2} : \overline{AB} ^{2} = 4 : 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} : \overline{AB} = 2 : 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} : {\overline{AB}} =$$\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} : {\overline{PA}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} : {\overline{PA}} = 2 : 1$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \overline{AC} = \mathit{x} + 5$ (원뿔의 부피)$\displaystyle = \frac{1}{3} \times$(밑면의 넓이)$\times$(높이)이고 원뿔대의 부피는 원뿔의 부피에서 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔의 부피를 빼면 되므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \times 4 \mathit{x} \times ( 2 x + 10 )$$\displaystyle - \frac{1}{3} \times \mathit{x} \times ( x + 5 ) = 700$ $\displaystyle \frac{4}{3} x ( 2 x + 10 ) - \frac{1}{3} x ( x + 5 ) = 700$ 양변에 $3$을 곱하면 $4 x ( 2 x + 10 ) - x ( x + 5 ) = 2100$ $8 x ^{2} + 40 x - x ^{2} - 5 x = 2100$ $7 x ^{2} + 35 x - 2100 = 0$ $x ^{2} + 5 x - 300 = 0$ $( x + 20 ) ( x - 15 ) = 0$ $x = - 20$ 또는 $x = 15$ $x > 0$이므로 $x = 15$