공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원점과 직선 거리 최대

문제

좌표평면 위의 원점에서 직선 3x−y+2−k(x+y)=03 x - y + 2 - k ( x + y ) = 0까지의 거리의 최댓값은? (단, kk는 실수이다.) [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤2\displaystyle \sqrt{2}

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④

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해설

[출제의도] 점과 직선사이의 거리 구하기 원점 O\mathrm{O}에서 직선 (3−k)x−(1+k)y+2=0( 3 - k ) x - ( 1 + k ) y + 2 = 0까지의 거리는 ∣2∣(3−k)2+(1+k)2=22k2−4k+10\displaystyle \frac{| 2 |}{\sqrt{( 3 - k ) ^{2} + ( 1 + k ) ^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2 k ^{2} - 4 k + 10}} 거리가 최대가 되려면 분모가 최소일 때이다. 2k2−4k+10=2(k−1)2+8≥82 k ^{2} - 4 k + 10 = 2 ( k - 1 ) ^{2} + 8 \geq 8이므로 22k2−4k+10≤28=22\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2 k ^{2} - 4 k + 10}} \leq \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ∴\therefore최댓값 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

태그

#점과 직선 거리#최대최소

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