확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원형 식탁 접시 배치

문제

숫자 11, 22, 33, 44가 각각 하나씩 적혀 있는 44개의 흰색 접시와 문자 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}가 각각 하나씩 적혀 있는 33개의 검은색 접시가 있다. 이 77개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원형으로 놓을 때, 다음 조건을 만족시키도록 놓는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

(가) 검은색 접시끼리는 서로 이웃하지 않는다. (나) 홀수가 적힌 흰색 접시끼리는 서로 이웃하지 않고, 짝수가 적힌 흰색 접시끼리는 서로 이웃하지 않는다.

①8484②8888③9292④9696⑤100100

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96

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해설

검은색 접시를 배열하는 원순열의 수는 (3−1)!=2\left( 3 - 1 \right) ! = 2 조건 (가)에서 각각의 검은색 접시 사이에 흰색 접시가 적어도 한 개 있다. 검은색 접시 사이에 놓인 흰색 접시의 개수를 각각 aa, bb, c(a≥b≥c)c \left( a \geq b \geq c \right)라 하면 a=2a = 2, b=1b = 1, c=1c = 1 흰색 접시를 놓는 경우의 수는 숫자 11, 22, 33, 44를 일렬로 나열할 때, 첫 번째와 두 번째에 있는 수가 모두 홀수인 경우와 모두 짝수인 경우를 제외한 경우의 수와 같다. 숫자 11, 22, 33, 44를 나열하는 경우의 수는 4!=244 ! = 24 첫 번째와 두 번째 있는 수가 모두 홀수인 경우의 수는 2!×2!=42 ! \times 2 ! = 4 첫 번째와 두 번째 있는 수가 모두 짝수인 경우의 수는 2!×2!=42 ! \times 2 ! = 4 검은색 접시 사이에 22개, 11개, 11개의 흰색 접시를 놓는 경우의 수는 3!2!=3\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3 흰색 접시를 놓는 경우의 수는 (24−4−4)×3=48\left( 24 - 4 - 4 \right) \times 3 = 48 따라서 구하는 경우의 수는 2×48=962 \times 48 = 96

태그

#원순열

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