중학중학 미분류수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원과 삼각형 넓이 차

문제

그림과 같이 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}와 원 OO가 점 A{\mathrm{A}}를 포함한 서로 다른 55개의 점에서 만난다. 선분 AB{\mathrm{AB}}와 원 OO가 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 D{\mathrm{D}}, 선분 AC{\mathrm{AC}}와 원 OO가 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 E{\mathrm{E}}라 하자. 선분 BC{\mathrm{BC}}와 원 OO가 만나는 점 중 점 B{\mathrm{B}}에 가까운 점을 F{\mathrm{F}}, 점 C{\mathrm{C}}에 가까운 점을 G{\mathrm{G}}라 하자. DB‾=DF‾=EG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}}} = {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{EG}}}, AG‾=3×GC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = 3 \times {\overline{\mathrm{GC}}}이고, 삼각형 EGC{\mathrm{EGC}}의 넓이가 88일 때, 삼각형 ABG{\mathrm{ABG}}의 넓이를 SS, 삼각형 AGC{\mathrm{AGC}}의 넓이를 TT라 하자. S−TS - T의 값을 구하시오. [4점]

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해설

DF‾=EG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{EG}}}이므로 호 DF{\mathrm{DF}}의 길이와 호 GE\mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}의 길이가 같다. 원주각의 성질에 의하여 ∠DAF=∠GAE\angle {\mathrm{DAF}} = \mathit{\angle} {\mathrm{GAE}} 사각형 ADGE{\mathrm{AD \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}}}가 원 OO에 내접하므로 ∠GDA+∠AEG=180∘\angle {\mathrm{GDA}} \mathit{+} \angle {\mathrm{AEG}} = \mathit{180} ^\circ ∠AEG+∠GEC=180∘\angle \mathrm{AEG} \mathit{+} \angle \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}} = \mathit{180} ^\circ 그러므로 ∠GDA=∠GEC\angle \mathrm{GDA} = \mathit{\angle} \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}} 사각형 AFGE\mathrm{AF} \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}가 원 OO에 내접하므로 ∠FAE+∠EGF=180∘\angle {\mathrm{FAE}} \mathit{+} \angle {\mathrm{EGF}} = \mathit{180} ^\circ ∠EGF+∠CGE=180∘\angle {\mathrm{EGF}} \mathit{+} \angle {\mathrm{C \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}}} = \mathit{180} ^\circ 그러므로 ∠FAE=∠CGE\angle {\mathrm{FAE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{C \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}}} ∠FAE\angle {\mathrm{FAE}}=∠FAG+∠GAE= \angle {\mathrm{FAG}} \mathit{+} \angle {\mathrm{GAE}} =∠FAG+∠DAF= \angle {\mathrm{FAG}} \mathit{+} \angle {\mathrm{DAF}} =∠DAG= \angle {\mathrm{DAG}} 두 삼각형 EGC{\mathrm{EGC}}, DAG{\mathrm{DAG}}에서 ∠GEC=∠ADG\angle {\mathrm{\mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}}} = \mathit{\angle} {\mathrm{ADG}}, ∠CGE=∠GAD\angle {\mathrm{C \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}}} = \mathit{\angle} {\mathrm{GAD}}이므로 두 삼각형 EGC{\mathrm{EGC}}, DAG{\mathrm{DAG}}는 서로 닮음이다. AG‾=3×GC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = 3 \times {\overline{\mathrm{GC}}}이므로 두 삼각형 EGC{\mathrm{EGC}}, DAG{\mathrm{DAG}}의 닮음비는 1:31 : 3이고, 넓이의 비는 1:91 : 9이다. 삼각형 EGC{\mathrm{EGC}}의 넓이가 88이므로 △EGC:△DAG=8:△DAG=1:9\triangle {\mathrm{EGC}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{DAG}} = \mathit{8} : \triangle {\mathrm{DAG}} = \mathit{1} : 9 △DAG=72\triangle {\mathrm{DAG}} = \mathit{72} DF‾=EG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{EG}}}이므로 호 DF{\mathrm{DF}}의 길이와 호 GE\mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}의 길이가 같다. 원주각의 성질에 의하여 ∠DGF=∠GAE\angle {\mathrm{DGF}} = \mathit{\angle} {\mathrm{GAE}} ∠GDA=∠GEC\angle {\mathrm{GDA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{G {\mathrm{EC}}}}에서 ∠BDG=180∘−∠GDA\angle {\mathrm{BDG}} = \mathit{180} ^\circ - \angle {\mathrm{GDA}}, ∠AEG=180∘−∠GEC\angle {\mathrm{AEG}} = \mathit{180} ^\circ - \angle {\mathrm{G {\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}}}이므로 ∠BDG=∠AEG\angle {\mathrm{BDG}} = \mathit{\angle} {\mathrm{AEG}} 두 삼각형 DBG{\mathrm{DBG}}, EGA{\mathrm{EGA}}에서 ∠DGB=∠EAG\angle {\mathrm{DGB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{EAG}}, ∠BDG=∠GEA\angle {\mathrm{BDG}} = \mathit{\angle} {\mathrm{G {\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{A}}}}이고 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180∘180 ^\circ이므로 ∠GBD=∠AGE\angle {\mathrm{GBD}} = \mathit{\angle} {\mathrm{A \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}}} DB‾=EG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}}} = {\overline{\mathrm{EG}}}, ∠BDG=∠GEA\angle \mathrm{BDG} = \mathit{\angle} \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{A}}, ∠GBD=∠AGE\angle \mathrm{GBD} = \mathit{\angle} \mathrm{A} \mathrm{G} \mathit{\mathrm{E}}이므로 두 삼각형 DBG{\mathrm{DBG}}, EGA{\mathrm{EGA}}는 서로 합동이다. 그러므로 △DBG=△EGA\triangle {\mathrm{DBG}} = \mathit{\triangle} {\mathrm{EGA}} SS=△ADG+△DBG= \triangle {\mathrm{ADG}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{DBG}}=72+△DBG= 72 + \triangle {\mathrm{DBG}} TT=△EGC+△EGA= \triangle {\mathrm{EGC}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{EGA}}=8+△EGA= 8 + \triangle {\mathrm{EGA}} 따라서 S−T=72−8=64S - T = 72 - 8 = 64

태그

#원주각#이등변삼각형#넓이비

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