원과 직선의 접선

[출제의도] 직선에 접하는 원의 반지름의 길이를 구하는 문제를 해결한다. 직선 $x + 2 y + 5 = 0$이 원 $\left( x - 1 \right) ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$에 접하므로 원의 반지름의 길이 $r$는 원의 중심 $\left( 1 , 0 \right)$과 직선 $x + 2 y + 5 = 0$ 사이의 거리와 같다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{\left| 1 \times 1 + 2 \times 0 + 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ [다른 풀이] $x + 2 y + 5 = 0$에서 $x = \mathit{-} 2 y - 5$ $x = \mathit{-} 2 y - 5$를 $\left( x - 1 \right) ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$에 대입하면 $\left\{ \left( - 2 y - 5 \right) - 1 \right\} ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ $5 y ^{2} + 24 y + 36 - r ^{2} = 0$ 이차방정식 $5 y ^{2} + 24 y + 36 - r ^{2} = 0$의 판별식을 $D$라 할 때, $D = 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4}$$= 12 ^{2} - 5 \times \left( 36 - r ^{2} \right)$ $= 5 r ^{2} - 36$$= 0$ 이므로 $\displaystyle r ^{2} = \frac{36}{5}$ $r > 0$이므로 $\displaystyle r = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$