원과 직선 영역 넓이

$\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{cases}$에서 $\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \\ y \geq x - 2 \end{cases}$이므로 $S$는 왼쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이이다.

$x ^{2} + y ^{2} = 4$ $y = x - 2$

$x ^{2} + y ^{2} = 4$ $y = - x - a$ $\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \\ x + y + a \leq 0 \end{cases}$에서 $\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \\ y \leq - x - a \end{cases}$이므로 해당하는 영역은 원의 내부의 영역 중 직선 $y = - x - a$의 아래 부분에 해당된다. 그런데, $S$부분의 넓이와 $S'$부분의 넓이의 합이 $4 \pi$이므로 $S'$은 원의 내부의 영역 중 $S$를 뺀 나머지 부분과 같아야 된다. 따라서, $S'$은 원의 내부의 영역 중 직선 $y = - x - 2$의 직선 아래쪽에 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \\ x + y + 2 \leq 0 \end{cases}$ $\therefore a = 2$