공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 영역 최대최소

문제

세 부등식 $x ^{2} + y ^{2} \leq 16$ , $2 x + y + 3 \geq 0$ , $x - 2 y - 1 \leq 0$ 을 동시에 만족시키는 $x , y$ 에 대하여, $x + y$ 의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M ^{2} + m ^{2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 부등식의 영역에서 최댓값, 최솟값 구하기 세 부등식이 나타내는 영역은 그림과 같다.

$x + y = k$ ( $k$ 는 상수) 라 하면 $k$ 는 두 직선의 교점 $( - 1 , - 1 )$ 에서 최소이고, 최솟값 $m = - 2$ 이다. 또한 $x + y = k$ 가 원 $x ^{2} + y ^{2} = 16$ 에 접할 때 최대이므로 $x ^{2} + ( - x + k ) ^{2} = 16$ $2 x ^{2} - 2 kx + k ^{2} - 16 = 0$ $D / 4 = k ^{2} - 2 ( k ^{2} - 16 ) = 0$ $k ^{2} = 32$ 따라서 최댓값 $\displaystyle M = \sqrt{32}$ $\therefore M ^{2} + m ^{2} = 36$

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