미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원기둥 옆면 최단거리

문제

밑면의 반지름의 길이가 44, 높이가 1010인 직원기둥이 있다. 점 A,B\mathrm{A} , B는 서로 다른 두 밑면의 원주 위에 있고, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는 직원기둥의 높이와 같다. 그림과 같이 점 A\mathrm{A}에서 시작하여 직원기둥의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 B\mathrm{B}까지 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 a1a _{1}, 두 바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 a2a _{2}, … , nn바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 ana _{n}이라 하자. 이때, lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n}}의 값은? [4점]

①8π8 \pi②7π7 \pi③6π6 \pi④5π5 \pi⑤4π4 \pi

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①

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해설

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 수학외적문제 해결하기 다음은 직원기둥의 옆면의 전개도에서 최단거리의 선을 나타낸 것이다.

a1=64π2+102\displaystyle a _{1} = \sqrt{64 \pi ^{2} + 10 ^{2}}

a2=2×64π2+(102)2\displaystyle a _{2} = 2 \times \sqrt{64 \pi ^{2} + \left( \frac{10}{2} \right) ^{2}} ⋮ 같은 방법으로 an=n×64π2+(10n)2\displaystyle a _{n} = n \times \sqrt{64 \pi ^{2} + \left( \frac{10}{n} \right) ^{2}} ∴\thereforelim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞64π2+(10n)2=8π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{64 \pi ^{2} + \left( \frac{10}{n} \right) ^{2}}} = 8 \pi

태그

#수열의 극한#전개도

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