원으로 두 수 구하기

[출제의도] 주어진 조건의 두 수를 구하기 위하여, 원의 성질을 이용하는 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} + \overline{\mathrm{CE}} \mathit{=} a$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$․$\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = b$ 이므로 구하는 두 수는 두 선분 $\mathrm{CD}$, $\mathrm{CE}$의 길이와 같다. 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OF}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OD}} ^{2} - \overline{\mathrm{DF}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right) ^{2} - ( \sqrt{b} ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{a ^{2} - 4 b}{4}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{BF}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{OB}} - \overline{\mathrm{OF}}$$\displaystyle = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$$\displaystyle = \frac{a - \sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{AB}} - \overline{\mathrm{BF}}$$\displaystyle = a - \frac{a - \sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$$\displaystyle = \frac{a + \sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$ [참고] 두 수 $\displaystyle \frac{a - \sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$, $\displaystyle \frac{a + \sqrt{a ^{2} - 4 b}}{2}$는 방정식 $x ^{2} - ax + b = 0$의 두 근이다.