중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접하는 사각형

문제

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 ABCD{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}}에서 선분 AC{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}가 선분 BD{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}를 이등분한다. AB‾=11\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}} = 1 1, CD‾=10\displaystyle {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}}}} = 1 0, DA‾=12\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{A}}}} = 1 2 일 때, BC‾=qp\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} = \frac{q}{p} 이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 원주각의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

두 대각선의 교점을 E{\mathrm{E}}라 하자. △ABE\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}와 △DCE\triangle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}에서 ∠BAE=∠CDE\angle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} \angle {\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{E}}(맞꼭지각)이므로 △ABE∽△DCE\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\backsim} \triangle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}이다. 따라서 DC‾AB‾=DE‾AE‾\displaystyle \frac{{\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}}} = \frac{{\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{E}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}}}이다. 또한 △AED\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{D}}와 △BEC\triangle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}에서 ∠ADE=∠BCE\angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} \angle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}(호AB{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}에 대한 원주각)이고 ∠AED=∠BCE\angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{=} \angle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}(맞꼭지각)이므로 △AED∽△BEC\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\backsim} \triangle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}이다. 따라서 BE‾AE‾=BC‾AD‾\displaystyle \frac{{\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}}} = \frac{{\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{D}}}}}이다. DE‾=BE‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{E}}}} = {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}}}이므로 DC‾AB‾=BC‾AC‾\displaystyle \frac{{\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}}} = \frac{{\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}}}}이다. 즉, 1011=BC‾12\displaystyle \frac{1 0}{1 1} = \frac{{\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{1 2}이므로 BC‾=qp=12011\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} = \frac{q}{p} = \frac{1 2 0}{1 1}이다. ∴p+q=131\therefore p + q = 1 3 1

태그

#원주각#닮음

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