중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 속 두 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ , 길이가 $10$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 위에 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 두 선분 $\mathrm{AP}$ , $\mathrm{PB}$ 의 중점을 각각 $\mathrm{M}$ , $\mathrm{N}$ 이라 하고, 반직선 $\mathrm{OM}$ 이 원과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ , 반직선 $\mathrm{ON}$ 이 원과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = 2$ 일 때, 두 삼각형 $\mathrm{CA} P$ 와 $\mathrm{DPB}$ 의 넓이의 합을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 삼각형의 넓이 구하는 문제를 해결한다.

반지름의 길이 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = 5$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \overline{OC} - \overline{MC} = 5 - 2 = 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BN}} = \mathrm{\overline{PN}} = \mathrm{\overline{OM}} = 3$ 이고 삼각형 $\mathrm{NOB}$ 는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \mathrm{\overline{ON}} = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}} = \sqrt{16} = 4$ 삼각형 $\mathrm{C} AP$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AP}} \times \mathrm{\overline{CM}} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ 삼각형 $\mathrm{DPB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{PB}} \times \mathrm{\overline{ND}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3$ 따라서 구하는 두 삼각형의 넓이의 합은 $8 + 3 = 11$

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