원 넓이 극한

원 $C _{n}$의 중심을 ${\mathrm{C}} _{n}$$( a _{n,} 0 )$이라 하면 직선 ${\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$은 점 ${\mathrm{P}} _{n}$$( n , n ^{2} )$에서의 곡선 $y = x ^{2}$의 접선에 수직이다. 점 ${\mathrm{P}} _{n}$에서의 곡선 $y = x ^{2}$의 접선의 기울기는 $2 n$이므로 $\displaystyle 2 n \times \frac{n ^{2} - 0}{n - a _{n}} = - 1$ ∴ $a _{n} = 2 n ^{3} + n$ 따라서 원 $C _{n}$의 넓이 $S _{n}$은 $S _{n}$$\displaystyle = \pi \times {\overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}}} ^{2}$ $= \pi \left\{ ( - 2 n ^{3} ) ^{2} + ( n ^{2} ) ^{2} \right\}$ $= \pi \left( 4 n ^{6} + n ^{4} \right)$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S ( n )}{n ^{6}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \pi \times \left( 4 + \frac{1}{n ^{2}} \right)$$= 4 \pi$