원 종이 접기 넓이

점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{E}}$, ${\mathrm{F}}$, ${\mathrm{G}}$, ${\mathrm{H}}$는 원의 둘레를 $\mathrm{8}$등분하는 점이고, 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 그림의 $\mathrm{8}$개의 부채꼴의 중심각의 크기는 모두 $45 ^\circ$이다. 원의 중심을 ${\mathrm{O}}$라 하고, 선분 ${\mathrm{DF}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 직선 ${\mathrm{OM}}$은 선분 ${\mathrm{DF}}$를 수직이등분한다. 한편 모양의 도형의 넓이는 모양의 도형의 넓이의 $\mathrm{2}$배와 같다.

부채꼴 $\mathrm{AOB}$의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$모양의 도형의 넓이$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right)$$= 2 S + \triangle {\mathrm{OBC}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{ODM}}$ $\displaystyle S = \pi \times 4 ^{2} \times \frac{45}{360} = 2 \pi \left( \mathrm{cm} \mathit{^{2}} \right)$ $\triangle \mathrm{OBC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 45 ^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle = 4 \sqrt{2} \left( \mathrm{cm} \mathit{^{2}} \right)$ 직각삼각형 $\mathrm{ODM}$에서 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{DM}}}}{4} = \sin 45 ^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DM}}} = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \triangle \mathrm{ODM} \mathit{=} \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} = 4 \left( \mathrm{cm} \mathit{^{2}} \right)$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$모양의 도형의 넓이$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right)$ $=$$\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$모양의 도형의 넓이$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right)$$\times 2$ $\displaystyle = \left( 2 \times 2 \pi + 4 \sqrt{2} + 4 \right) \times 2$ $\displaystyle = 8 \pi + 8 \sqrt{2} + 8 \left( \mathrm{cm} \mathit{^{2}} \right)$ 따라서 $\displaystyle a = 8 + 8 \pi + 8 \sqrt{2}$