확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

통학 시간 표본평균

문제

어느 학교 학생들의 통학 시간은 평균이 5050분, 표준편차가 σ\sigma분인 정규분포를 따른다. 이 학교 학생들을 대상으로 1616명을 임의추출하여 조사한 통학 시간의 표본평균을 X‾\displaystyle \overline{X}라 하자. P(50≤X‾≤56)=0.4332\displaystyle P \left( 50 \leq \overline{X} \leq 56 \right) = 0.4332일 때, σ\sigma의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [4점]

zzP(0≤Z≤z)P ( 0 \leq Z \leq z )
1.01.00.34130.3413
1.51.50.43320.4332
2.02.00.47720.4772
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1616

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해설

[출제의도] 표본평균의 확률을 구할 수 있는가? 확률변수 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(50,σ216)\displaystyle N \left( 50 , \frac{\sigma ^{2}}{16} \right)을 따르므로 P(50≤X‾≤56)\displaystyle P ( 50 \leq \overline{X} \leq 56 )=P(50−50σ4≤X‾−50σ4≤56−50σ4)\displaystyle = P \left( \frac{50 - 50}{\frac{\sigma}{4}} \leq \frac{\overline{X} - 50}{\frac{\sigma}{4}} \leq {\frac{56 - 50}{\frac{\sigma}{4}} )} \right. =P(0≤Z≤24σ)\displaystyle = P \left( 0 \leq Z \leq {\frac{24}{\sigma} )} \right.=P(0≤Z≤1.5)= P ( 0 \leq Z \leq 1.5 ) 따라서 24σ=1.5\displaystyle \frac{24}{\sigma} = 1.5이므로 σ=241.5=24×23=16\displaystyle \sigma = \frac{24}{1.5} = 24 \times \frac{2}{3} = 16

태그

#표본평균#표준정규분포표

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