미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

tan을 이용한 극한식의 치역

문제

lim⁡n→∞cos⁡nx−sin⁡nxcos⁡nx+sin⁡nx\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\cos ^{n} x - \sin ^{n} x}{\cos ^{n} x + \sin ^{n} x} 를 치역으로 하는 집합의 원소의 개수는? (0<x<π2)\displaystyle \left( 0 < x < \frac{\pi}{2} \right)

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해설

주어진 식을 변형하면 lim⁡n→∞1−tan⁡nx1+tan⁡nx\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1 - \tan ^{n} x}{1 + \tan ^{n} x}가 된다. lim⁡n→∞rn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {r ^{n}}값은 rr의 크기에 따라 나누어 고려하면 다음과 같다. 1) ∣tan⁡x∣<1| \tan x | < 1 : 0<x<π4\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{4} 또는 34π<x<π\displaystyle \frac{3}{4} \pi < x < \pi인 경우 lim⁡n→∞tan⁡nx=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\tan ^{n} x} = 0이므로 lim⁡n→∞1−tan⁡nx1+tan⁡nx=1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1 - \tan ^{n} x}{1 + \tan ^{n} x} = 1 2) ∣tan⁡x∣>1| \tan x | > 1 : π4<x<π2\displaystyle \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} 또는 π2<x<34π\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{3}{4} \pi인 경우 lim⁡n→∞tan⁡nx=∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\tan ^{n} x} = \infty이므로 lim⁡n→∞1−tan⁡nx1+tan⁡nx=−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1 - \tan ^{n} x}{1 + \tan ^{n} x} = - 1 3) tan⁡x=1\tan x = 1 : x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4}인 경우 lim⁡n→∞tan⁡nx=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\tan ^{n} x} = 1이므로 준 식의 값은 00 따라서, lim⁡n→∞cos⁡nx−sin⁡nxcos⁡nx+sin⁡nx\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\cos ^{n} x - \sin ^{n} x}{\cos ^{n} x + \sin ^{n} x}의 값은 33가지이다.

태그

#수열의 극한#함수의 극한

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