타일 개수

[출제의도] 주어진 상황을 이차방정식으로 표현하고 실생활 문제를 해결한다. 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 내부를 정사각형 모양의 타일로 가로 $n$개, 세로 $n$개 이어 붙여 채웠다고 하면 전체 타일의 개수는 $n ^{2}$이다. 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 두 대각선이 교차하는 부분에 놓이는 타일의 모양은 $n$의 값에 따라 다음과 같이 두 가지 형태가 있다. (ⅰ) $n$이 홀수일 때 그림과 같이 두 대각선이 교차하는 부분에 검은 타일이 하나 겹쳐진다.

이제 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에 놓인 검은 타일을 서로 인접하게 한쪽으로 이동하여 정리하면 다음과 같은 모양이 된다.

위 그림에서 흰 타일의 개수는 $\left( n - 4 \right) \left( n - 2 \right) + 1$ 조건에서 $\left( n - 4 \right) \left( n - 2 \right) + 1 = 168$ $n ^{2} - 6 n + 9 = 168$ $n ^{2} - 6 n - 159 = 0$ $n$$\displaystyle = 3 \pm \sqrt{168}$$\displaystyle = 3 \pm 2 \sqrt{42}$ 따라서 조건을 만족시키는 홀수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $n$이 짝수일 때 그림과 같이 두 대각선이 교차하는 부분에 검은 타일이 겹쳐지지 않는다.

이제 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에 놓인 검은 타일을 서로 인접하게 한쪽으로 이동하여 정리하면 다음과 같은 모양이 된다.

위 그림에서 흰 타일의 개수는 $\left( n - 4 \right) \left( n - 2 \right)$ 조건에서 $\left( n - 4 \right) \left( n - 2 \right) = 168$ $n ^{2} - 6 n + 8 = 168$ $n ^{2} - 6 n - 160 = 0$ $\left( n + 10 \right) \left( n - 16 \right) = 0$ $n$은 자연수이므로 $n = 16$ 따라서 전체 타일의 개수는 $16 ^{2}$$= 256$이므로 검은색 타일의 개수는 $256 - 168$$= 88$이다.