확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타일 칠하기 빈칸

문제

그림과 같이 가로로 nn개, 세로로 22개씩 총 2n2 n개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다.

nn개 ⏞\displaystyle \overbrace{} {\begin{matrix} \end{matrix}}
첫째 줄
둘째 줄

이 타일 중에서 33개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않은 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다.

이어 붙지 않은 경우 :
이어 붙은 경우 :

다음은 n≥6n \geq 6일 때, 검은색으로 칠할 타일 33개를 고르는 경우의 수 S(n)S ( n )을 구하는 과정이다.

첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 kk(k=0,1,2,3k = 0 , 1 , 2 , 3)이라 하면 (ⅰ) k=0k = 0일 때 둘째 줄에 있는 nn개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 33개를 고르는 경우의 수는 □(가){\square {( \text{가} )}}이다. (ⅱ) k=1k = 1일 때 둘째 줄에 있는 nn개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 22개를 고르는 경우의 수는 3Hn−3{} _{3} {\mathrm{H}} _{n-3}이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 11개를 고르는 경우의 수는 □(나){\square {( \text{나} )}}이므로, 검은색으로 칠할 타일 33개를 고르는 경우의 수는 3Hn−3×{} _{3} {\mathrm{H}} _{n-3} \times□(나){\square {( \text{나} )}}이다. (ⅲ) k=2k = 2일 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구할 수 있다. (ⅳ) k=3k = 3일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구할 수 있다. 따라서 S(n)S ( n )=2(n−2)(2n2−8n+9)3\displaystyle = \frac{2 ( n - 2 ) ( 2 n ^{2} - 8 n + 9 )}{3}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(10)+g(8)f ( 10 ) + g ( 8 )의 값은? [4점] ①6060②6161③6262④6363⑤6464

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③

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해설

[출제의도] 중복조합에 관한 증명 문제를 해결한다. (ⅰ) k=0k = 0일 때 둘째 줄에 있는 nn개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 33개를 고르는 경우의 수는 다음과 같다. 검은색으로 칠할 타일 사이에는 검은색으로 칠하지 않을 타일이 각각 11개 이상씩 있어야 한다. 즉, 검은색으로 칠하지 않을 타일이 있을 수 있는 곳은 많아야 44곳이므로 타일의 개수를 결정하는 경우의 수는 □4Hn−5\square {{} _{4} {\mathrm{H}} _{n - 5}}이다. (ⅱ) k=1k = 1일 때 둘째 줄에 있는 nn개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 22개를 고르는 경우의 수는 3Hn−3{}_{3} {\mathrm{H}} _{n-3}이다. 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 11개를 고르는 경우의 수는 둘째 줄에서 검은색으로 칠할 타일의 바로 위쪽에 있는 타일을 제외한 나머지 n−2n - 2개의 타일 중 11개의 타일을 고르는 경우의 수와 같으므로 □n−2C1\square {{} _{n - 2} {\mathrm{C}} _{1}}이다. 그러므로 검은색으로 칠할 타일 33개를 고르는 경우의 수는 3Hn−3×{}_{3} {\mathrm{H}} _{n-3} \times□n−2C1\square {{} _{n - 2} {\mathrm{C}} _{1}}이다. (가)에 알맞은 식은 4Hn−5{} _{4} {\mathrm{H}} _{n - 5}이므로 f(n)=4Hn−5f ( n ) = {} _{4} {\mathrm{H}} _{n - 5} (나)에 알맞은 식은 n−2C1{} _{n - 2} {\mathrm{C}} _{1}이므로 g(n)=n−2C1g ( n ) = {} _{n - 2} {\mathrm{C}} _{1} 따라서 f(10)+g(8)f ( 10 ) + g ( 8 )=4H5×6C1= {} _{4} {\mathrm{H}} _{5} \times {} _{6} {\mathrm{C}} _{1}=56+6= 56 + 6=62= 62

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#중복조합#빈칸추론

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