수열의 수렴 보기

[출제의도] 무한수열의 성질 이해하기 ㄱ. 대우명제 ‘수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 수렴하면 수열 $\left\{ a _{n} ^{2} \right\}$이 수렴한다.’가 참이므로 주어진 명제는 참이다. (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} + b _{n} \right)} = \alpha$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - b _{n} \right)} = \beta$라 두자. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} =} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \right) + \left( \frac{a _{n} - b _{n}}{2} \right) \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \right)} + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n} - b _{n}}{2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \right) - \left( \frac{a _{n} - b _{n}}{2} \right) \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \right)} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n} - b _{n}}{2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} ^{2}} = \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) ^{2}$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} ^{2}} = \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) ^{2}$ 따라서 수열$\left\{ a _{n} ^{2} \right\}$, $\left\{ b _{n} ^{2} \right\}$은 수렴한다. (참) ㄷ. 【반례】 $a _{n} = \left( - 1 \right) ^{n}$, $b _{n} = \left( - 1 \right) ^{n + 1}$ (거짓) $\therefore$ㄱ, ㄴ