미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열의 극한 계산

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 lim⁡n→∞(an+n−n)=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{a _{n} + n} - \sqrt{n} \right)} = 5를 만족시킬 때, lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{\sqrt{n}}}의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 bn=an+n−n\displaystyle b _{n} = \sqrt{a _{n} + n} - \sqrt{n} 이라 하면, lim⁡n→∞bn=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 5} lim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞(bn+n)2−nn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{\sqrt{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( b _{n} + \sqrt{n} ) ^{2} - n}{\sqrt{n}}} =lim⁡n→∞bn2n+2lim⁡n→∞bn=10\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n} ^{2}}{\sqrt{n}} + 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 10}

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#수열의 극한#무리식

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