미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열의 극한 대소 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 9n2−5+2n<an<5n+1\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} - 5} + 2 n < a _{n} < 5 n + 1 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞(an+2)2nan+5n2−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( a _{n} + 2 \right) ^{2}}{na _{n} + 5 n ^{2} - 2}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②32\displaystyle \frac{3}{2}③52\displaystyle \frac{5}{2}④72\displaystyle \frac{7}{2}⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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③

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해설

모든 자연수 nn에 대하여 부등식 9n2−5+2n<an<5n+1\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} - 5} + 2 n < a _{n} < 5 n + 1 의 각 변을 nn으로 나누면 9n2−5+2nn<ann<5n+1n\displaystyle \frac{\sqrt{9 n ^{2} - 5} + 2 n}{n} < \frac{a _{n}}{n} < \frac{5 n + 1}{n}, 9−5n2+2<ann<5+1n\displaystyle \sqrt{9 - \frac{5}{n ^{2}}} + 2 < \frac{a _{n}}{n} < 5 + \frac{1}{n} 이때 lim⁡n→∞(9−5n2+2)=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \sqrt{9 - \frac{5}{n ^{2}}} + 2 \right) = 5, lim⁡n→∞(5+1n)=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 5 + \frac{1}{n} \right) = 5 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim⁡n→∞ann=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = 5 이고 주어진 극한값의 분자와 분모를 n2n ^{2}으로 나누면 lim⁡n→∞(an+2)2nan+5n2−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( a _{n} + 2 \right) ^{2}}{na _{n} + 5 n ^{2} - 2}=lim⁡n→∞(ann+2n)2ann+5−2n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( \frac{a _{n}}{n} + \frac{2}{n} \right) ^{2}}{\frac{a _{n}}{n} + 5 - \frac{2}{n ^{2}}} =(5+0)25+5−0\displaystyle = \frac{\left( 5 + 0 \right) ^{2}}{5 + 5 - 0}=52\displaystyle = \frac{5}{2}

태그

#수열의 극한#대소 관계

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