미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열의 극한 보기

문제

두 무한수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}이 수렴하고 lim⁡n→∞(an−bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( a _{n} - b _{n} \right) = 0 이면 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} ㄴ. ∑n=1∞an=α\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \alpha, ∑n=1∞bn=β\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \beta 이고 α>β\alpha > \beta 이면 lim⁡n→∞an>lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} > \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} ㄷ. 수열 {an},{anbn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ a _{n} b _{n} \right\}이 수렴하면 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

ㄱ. 두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 수렴하고 lim⁡n→∞(an−bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - b _{n} )} = 0 이므로 lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0 (참) ㄴ. 수렴하는 무한급수의 일반항 an,bna _{n} , b _{n}에 대하여 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0 (거짓) ㄷ. (반례) an=1n\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n}, bn=nb _{n} = n 이라하면 lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n}} = 0, lim⁡n→∞1n⋅n=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \cdot n} = 1 이지만 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}이 수렴하는 것은 아니다. (거짓) 옳은 것은 ㄱ

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