미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 수렴 판정

문제

<보기>에서 수렴하는 수열을 모두 고른 것은? [3점]

보 기
ㄱ. {tan⁡2n+14π}\displaystyle \left\{ \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi \right\} ㄴ. {n+1−n}\displaystyle \left\{ \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right\} ㄷ. {log⁡2n2−2log⁡2(n+2)}\left\{ \log _{2} n ^{2} - 2 \log _{2} ( n + 2 ) \right\}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. lim⁡n→∞tan⁡2n+14π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\tan \frac{2 n + 1}{4} \pi} (발산) ㄴ. lim⁡n→∞(n+1−n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)}=lim⁡n→∞1n+1+n=0\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} = 0 (수렴) ㄷ. lim⁡n→∞{log⁡2n2−2log⁡2(n+2)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \log _{2} n ^{2} - 2 \log _{2} ( n + 2 ) \right\}}=lim⁡n→∞log⁡2n2(n+2)2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\log _{2} {\frac{n ^{2}}{( n + 2 ) ^{2}}}} =lim⁡n→∞log⁡2n2n2+4n+4=log⁡21=0\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\log _{2} \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 4 n + 4} = \log _{2} 1 = 0} (수렴)

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