수열 수렴 보기

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \alpha$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} ^{2} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \alpha ^{2}$ ∴ 참 ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} + b _{n} ) = \alpha$, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} - b _{n} ) = \beta$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} + b _{n} ) + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} - b _{n} ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} 2 a _{n}$$= \alpha + \beta$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \frac{\alpha + \beta}{2}$ ∴ 참 ㄷ. (반례) $a _{n} = ( - 1 ) ^{n}$, $b _{n} = ( - 1 ) ^{n+1}$이면 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$은 모두 발산하지만 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} b _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( - 1 ) ^{2n+1} = - 1$ ∴ 거짓