미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 합 조건 보기

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 an+bn=2+1n\displaystyle a _{n} + b _{n} = 2 + \frac{1}{n} (n=1,2,3,⋅⋅⋅)( n = 1 , 2 , 3 , \cdot \cdot \cdot ) 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡n→∞(an+bn)=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n}} + b _{n} ) = 2 ㄴ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 수렴하면 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}도 수렴한다. ㄷ. ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}도 수렴한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 무한수열과 무한급수의 수렴, 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. lim⁡n→∞(an+bn)=lim⁡n→∞(2+1n)=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} + b _{n} \right)} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 + \frac{1}{n} \right)} = 2 이다. (참) ㄴ. lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \alpha}라고 하면 bn=2+1n−an\displaystyle b _{n} = 2 + \frac{1}{n} - a _{n}에서 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(2+1n−an)=2−α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 + \frac{1}{n} - a _{n} \right) = 2 - \alpha}}이다. (참) ㄷ. ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 0이므로 ㄴ에 의해 lim⁡n→∞bn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 2이다. 따라서 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}은 발산한다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

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