미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한의 성질

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 lim⁡n→∞an3n=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{3 n} = 2, lim⁡n→∞2n+3bn=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n + 3}{b _{n}} = 6 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}}의 값은? (단, bn≠0b _{n} \neq 0) [3점]

①1010②1212③1414④1616⑤1818

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기 lim⁡n→∞an3n×lim⁡n→∞2n+3bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{3 n} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n + 3}{b _{n}}}=lim⁡n→∞(an3n×2n+3bn)=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{a _{n}}{3 n} \times \frac{2 n + 3}{b _{n}} \right) = 12 an3n×2n+3bn=cn\displaystyle \frac{a _{n}}{3 n} \times \frac{2 n + 3}{b _{n}} = c _{n}이라 하면 lim⁡n→∞cn=12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {c _{n} = 12} anbn=cn×3n2n+3\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}} = c _{n} \times \frac{3 n}{2 n + 3}이므로 lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{b _{n}}=lim⁡n→∞(cn×3n2n+3)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( c _{n} \times \frac{3 n}{2 n + 3} \right) =lim⁡n→∞cn×lim⁡n→∞3n2n+3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} c _{n} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 n}{2 n + 3} =12×32\displaystyle = 12 \times \frac{3}{2}=18= 18

태그

#수열의 극한#극한의 성질

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