미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한의 성질

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 lim⁡n→∞(an−1)=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - 1 ) = 2, lim⁡n→∞(an+2bn)=9\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} + 2 b _{n} ) = 9 를 만족시킬 때, lim⁡n→∞an(1+bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} ( 1 + b _{n} )의 값을 구하시오. [3점]

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12

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다. an−1a _{n} - 1=cn= c _{n}이라 하면 ana _{n}=cn+1= c _{n} + 1이고, lim⁡n→∞(an−1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - 1 )=2= 2에서 lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} c _{n}=2= 2이므로 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}=lim⁡n→∞(cn+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( c _{n} + 1 )=2+1= 2 + 1=3= 3 an+2bna _{n} + 2 b _{n}=dn= d _{n}이라 하면 bnb _{n}=12(dn−an)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( d _{n} - a _{n} \right)이고 lim⁡n→∞(an+2bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} + 2 b _{n} )=9= 9에서 lim⁡n→∞dn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} d _{n}=9= 9이므로 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n}=lim⁡n→∞12(dn−an)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( d _{n} - a _{n} \right)=12(9−3)\displaystyle = \frac{1}{2} ( 9 - 3 )=3= 3 따라서 lim⁡n→∞an(1+bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \left( 1 + b _{n} \right)=3×(1+3)= 3 \times ( 1 + 3 )=12= 12

태그

#수열의 극한#극한의 성질

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