미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한의 상수

문제

수열 $\displaystyle a _{n} = \left( \frac{k}{2} \right) ^{n}$ 이 수렴하도록 하는 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a \times a _{n} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{a _{n} + b \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}} = \frac{k}{2}$ 일 때, $a + b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다.) [3점] ① $\mathrm{1}$ ② $\mathrm{2}$ ③ $\mathrm{3}$ ④ $\mathrm{4}$ ⑤ $\mathrm{5}$

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④

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해설

수열 $a _{n}$ 이 수렵하도록 하는 자연수 $k$ 의 값은 $\mathrm{1}$ 또는 $\mathrm{2}$ 이다. (ⅰ) $k = 1$ 인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( a + 1 \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{\left( 1 + b \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}} = \frac{a + 1}{1 + b} = \frac{1}{2}$ , $2 a = b - 1$ (ⅱ) $k = 2$ 인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{1 + b \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}} = a = 1$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a = 1$ , $b = 3$ 따라서 $a + b = 4$

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