미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한의 대소 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 부등식 2n3+2n≤an≤2n3+5n+12 n ^{3} + 2 n \leq a _{n} \leq 2 n ^{3} + 5 n + 1 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an5n3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{5 n ^{3}}}의 값은? [3점] ①25\displaystyle \frac{2}{5}②12\displaystyle \frac{1}{2}③35\displaystyle \frac{3}{5}④710\displaystyle \frac{7}{10}⑤45\displaystyle \frac{4}{5}

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①

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해설

[출제의도] 수렴하는 수열의 극한의 대소관계 이해하기 부등식 2n3+2n≤an≤2n3+5n+12 n ^{3} + 2 n \leq a _{n} \leq 2 n ^{3} + 5 n + 1 에서 각 변을 5n35 n ^{3}으로 나누면 2n3+2n5n3≤an5n3≤2n3+5n+15n3\displaystyle \frac{2 n ^{3} + 2 n}{5 n ^{3}} \leq \frac{a _{n}}{5 n ^{3}} \leq \frac{2 n ^{3} + 5 n + 1}{5 n ^{3}} lim⁡n→∞2n3+2n5n3≤lim⁡n→∞an5n3≤lim⁡n→∞2n3+5n+15n3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n ^{3} + 2 n}{5 n ^{3}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{5 n ^{3}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n ^{3} + 5 n + 1}{5 n ^{3}} 25≤lim⁡n→∞an5n3≤25\displaystyle \frac{2}{5} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{5 n ^{3}} \leq \frac{2}{5} lim⁡n→∞an5n3=25\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{5 n ^{3}} = \frac{2}{5} 이다.

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#수열의 극한#대소 관계

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