미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 유리화

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞an+n22n2+4=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n} + n ^{2}}{2 n ^{2} + 4} = 2일 때, lim⁡n→∞1an+3n−an+n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{a _{n} + 3 n} - \sqrt{a _{n} + n}}의 값은? [3점] ①39\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}②13\displaystyle \frac{1}{3}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④11⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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⑤

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해설

lim⁡n→∞an+n22n2+4=lim⁡n→∞ann2+12+4n2=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n} + n ^{2}}{2 n ^{2} + 4} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{a _{n}}{n ^{2}} + 1}{2 + \frac{4}{n ^{2}}} = 2 lim⁡n→∞4n2=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n ^{2}} = 0이므로 lim⁡n→∞ann2=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}} = 3 따라서 lim⁡n→∞1an+3n−an+n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{a _{n} + 3 n} - \sqrt{a _{n} + n}} =lim⁡n→∞(1an+3n−an+n×an+3n+an+nan+3n+an+n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{a _{n} + 3 n} - \sqrt{a _{n} + n}} \right. \left. \times \frac{\sqrt{a _{n} + 3 n} + \sqrt{a _{n} + n}}{\sqrt{a _{n} + 3 n} + \sqrt{a _{n} + n}} \right) =lim⁡n→∞an+3n+an+n(an+3n)−(an+n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a _{n} + 3 n} + \sqrt{a _{n} + n}}{\left( a _{n} + 3 n \right) - \left( a _{n} + n \right)} =lim⁡n→∞an+3n+an+n2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a _{n} + 3 n} + \sqrt{a _{n} + n}}{2 n} =lim⁡n→∞ann2+3n+ann2+1n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{a _{n}}{n ^{2}} + \frac{3}{n}} + \sqrt{\frac{a _{n}}{n ^{2}} + \frac{1}{n}}}{2} =3+32\displaystyle = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} =3\displaystyle = \sqrt{3}

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