미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 역산

문제

수렴하는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 limn2an3an+1=34\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 a _{n} - 3}{a _{n} + 1} = \frac{3}{4}}일 때, limnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점] 1122334455

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해설

2an3an+1=bn\displaystyle \frac{2 a _{n} - 3}{a _{n} + 1} = b _{n}으로 놓으면 limnbn=34\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = \frac{3}{4}, an=bn+32bn\displaystyle a _{n} = \frac{b _{n} + 3}{2 - b _{n}} limnan=limnbn+32bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{b _{n} + 3}{2 - b _{n}} =34+3234=3\displaystyle = \frac{\frac{3}{4} + 3}{2 - \frac{3}{4}} = 3

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