미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 성질 보기

문제

수열의 극한에 대하여 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

보 기
ㄱ. lim⁡n→∞an=∞,lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \infty , \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = \alpha}}(일정)이면 lim⁡n→∞bnan=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}} = 0}이다. ㄴ. lim⁡n→∞(an−bn)=0,\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - b _{n} ) = 0} , lim⁡n→∞an=β\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \beta}(일정)이면 lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = \beta}이다. ㄷ. 모든 자연수 nn에 대하여 an<cn<bna _{n} < c _{n} < b _{n}이고 lim⁡n→∞(bn−an)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( b _{n} - a _{n} ) = 0}이면 lim⁡n→∞cn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {c _{n} = 0}이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하기 ㄱ. lim⁡n→∞an=∞,lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \infty , \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = \alpha}}(일정)이면 lim⁡n→∞bnan=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}} = 0} (참) ㄴ. lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞{an−(an−bn)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ a _{n} - ( a _{n} - b _{n} ) \right\}}} =lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞(an−bn)=lim⁡n→∞an=β\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - b _{n} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \beta}}} (참) ㄷ. 반례) an=n−1n,bn=n+1n,cn=n\displaystyle a _{n} = n - \frac{1}{n} , b _{n} = n + \frac{1}{n} , c _{n} = n이면, lim⁡n→∞(bn−an)=lim⁡n→∞2n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( b _{n} - a _{n} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{n} = 0}}이지만 lim⁡n→∞cn=∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {c _{n} = \infty} (거짓)

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